Apa bedanya diagonal bidang diagonal ruang dan bidang diagonal?

Berikut ini adalah pembahasan tentang pengertian diagonal bidang, pengertian diagonal ruang, rumus panjang diagonal bidang, rumus panjang diagonal ruang, contoh soal diagonal bidang, contoh soal diagonal ruang.

Pengertian Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang

Perhatikan gambar berikut! Jika titik E dan titik G dihubungkan, maka akan diperoleh garis EG.

Begitupun jika titik A dan titik H dihubungkan, kita akan memperoleh garis AH. Garis seperti EG dan AH inilah yang dinamakan diagonal bidang.

Gambar: Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang

Jadi, Diagonal Bidang yaitu garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan dalam satu bidang.

Perhatikan kembali gambar di atas! Jika titik E dan titik C dihubungkan kita akan memperoleh garis EC, begitu juga jika titik H dan titik B kita hubungkan akan diperoleh garis HB. Garis seperti EC dan HB inilah yang dinamakan dengan diagonal ruang.

Jadi, diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan tak sebidang.

Rumus Panjang Diagonal Bidang

Selanjutnya perhatikan gambar berikut!

Pada gambar (a), garis EB merupakan diagonal bidang dari kubus ABCD.EFGH. Garis EB terletak pada bidang ABFE dan membagi bidang tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga ABE dengan siku-siku di A, dan segitiga BFE dengan siku-siku di F. Perhatikan segitiga ABE pada gambar (b) dengan EB sebagai diagonal bidang.

Berdasarkan teorema Pythagoras, maka:
EB2 = AE2 + AB2
        = s2 + s2
        = 2s2, sehingga didapat
EB = √2s2 = s√2

Karena semua bidang dalam kubus berbentuk persegi, maka panjang diagonal bidang dari setiap bidang pada kubus nilainya sama. Sehingga dapat kita ambil kesimpulan, jika s merupakan panjang rusuk sebuah kubus, maka berlaku rumus:

Panjang diagonal bidang kubus = s√2

Sekarang perhatikan gambar (c). Pada bidang PQUT, terdapat diagonal bidang TQ, dan TQ membagi bidang PQUT menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga PTQ dengan siku-siku di P dan segitiga QUT dengan siku-siku di U.

Perhatikan segitiga pada gambar (d) dengan TQ sebagai diagonal bidang PQUT, PQ = p, dan TP = t. Berdasarkan teorema Pythagoras, maka:
TQ2 = PQ2 + TP2
        = p2 + t2
TQ = √p2 + t2

Amati kembali gambar (c). Tentukan panjang diagonal bidang yang lainnya!

Rumus Panjang Diagonal Ruang

Untuk menentukan panjang diagonal ruang kubus, lakukanlah kegiatan berikut ini!

Perhatikan kubus RSTU.VWXY di bawah ini!

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, tentukanlah panjang di ago nal ruang TV, SY, RX, dan UW! Diskusikan hasilnya dengan teman sebangkumu, kemudian bandingkanlah hasilnya dengan kesimpulan di bawah ini!

Jika s = panjang rusuk sebuah kubus, maka berlaku rumus:

Panjang diagonal ruang kubus = s√3

Sedangkan untuk menentukan panjang diagonal ruang balok, perhatikan gambar berikut ini!

Pada gambar di atas, PV dan SU merupakan diagonal ruang balok PQRS.TUVW. Jika kamu perhatikan, apakah diagonal PV lebih panjang jika dibandingkan dengan diagonal SU?

Perhatikan penjelasan berikut ini.

Karena segitiga PRV merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di R, maka berlaku teorema Pythagoras, sehingga diperoleh PV2 = PR2 + VR2, dimana PR sebagai diagonal bidang PQRS.

Berdasarkan uraian di atas, kita peroleh hubungan:
PV2 = (PQ2 + QR2 + VR2)
        = p2 + l2 + t2
PV = √p2 + l2 + t2……………………………. (1)

Karena segitiga QSU merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di Q, maka berlaku teorema Pythagoras, sehingga diperoleh SU2 = QS2 + QU2, dimana QS sebagai diagonal bidang PQRS.

Berdasarkan uraian di atas, kita peroleh hubungan:
SU2 = (PQ2 + PS2 + QU2)
        = p2 + l2 + t2
SU = √p2 + l2 + t2……………………………. (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh bahwa PV = SU.

Sehingga jika sebuah balok mempunyai ukuran panjang p, lebar l, dan tinggi t, maka berlaku rumus:

Panjang diagonal ruang balok = √p2 + l2 + t2

Contoh Soal 

1. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 16 cm. Hitunglah panjang diagonal bidang dan panjang diagonal ruang kubus tersebut!

Penyelesaian: rusuk = s = 16 cm Panjang diagonal bidang = s√2 = 16√2 cm

Panjang diagonal ruang = s√3 = 16√3 cm

Sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus hampir sama dengan sifat-sifat yang dimiliki oleh balok. Yang membedakan hanya ukurannya saja. Kubus memiliki sisi yang sama di semua sisinya. Sebelumnya Mafia Online sudah membahas mengenai diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal balok. Pada postingan ini akan membahas tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal.

Diagonal Bidang Kubus

Nama lain dari diagonal bidang adalah diagonal sisi. Diagonal bidang suatu kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan pada setiap bidang atau sisi kubus. Sekarang coba perhatikan bidang ABEF pada gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini.

Diagonal bidang atau sisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema phytagoras. Sekarang perhatikan gambar kuubus di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BE dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras, di mana segitiga ABE siku-siku di A. Sehingga:

BE = √(AB2 + AE2)

BE = √(s2 + s2)

BE = √2s2

BE = s√2

Misalkan diagonal bidang kubus adalah b maka secara umum diagonal bidang kubus dapat dirumuskan:

b = s√2

Diagonal Ruang Kubus

Diagonal ruang pada kubus adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan dalam suatu ruang di dalam kubus. Sekarang coba perhatikan gambar berikut di bawah ini. 

Garis BH disebut diagonal ruang. Selain garis BH, ada juga garis AG, garis DF, dan garis CE yang merupakan diagonal ruang kubus. Diagonal-diagonal ruang tersebut akan berpotongan di satu titik. Suatu kubus memiliki empat buah diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan pada satu titik. Bagaimana menghitung panjang diagonal ruang balok?

Sama seperti mencari diagonal bidang, untuk mencari diagonal ruang juga menggunakan teorema phyagoras. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Misalkan kubus ABCD.EFGH di atas memiliki rusuk s. Maka panjang BH dapat dihitung dengan menggunakan teorema phytagoras. Tetapi sebelum itu harus cari panjang BD, di mana BD merupakan diagonal sisi. Sekarang perhatikan segitiga ABD  siku-siku di A. Sehingga:

BD = s√2

Sekarang cari panjang BH dengan teorema phytagoras juga. Sekarang perhatikan segitiga BDH  siku-siku di D. Sehingga:

BH = √(BD2 + DH2)

BH = √(s√2)2 + s2)

BH = √(2s2 + s2)

BH = √(3s2)

BH = s√3 

Misalkan diagonal ruang kubus adalah d, maka secara umum diagonal ruang kubus dapat dirumuskan:

d = s√3 

Bidang Diagonal Kubus

Bidang diagonal suatu kubus adalah bidang yang dibatasi oleh dua rusuk dan dua diagonal bidang suatu kubus. Perhatikan balok ABCD.EFGH pada gambar di bawah ini. 

Bidang ABGH disebut bidang diagonal. Kubus memiliki enam bidang diagonal yang berbentuk persegi panjang dan tiap pasangnya kongruen. Bagaimana menghitung luas bidang diagonal?

Untuk menghitung luas bidang diagonal dapat menggunakan rumus luas persegi panjang. Sekarang coba perhatikan kembali gambar kubus ABCD.EFGH di atas, jika rusuknya s, maka luas bidang ABGH yakni:

Untuk lebih memantapkan pemahaman Anda tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal ruang, silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal 

b = s√2

b = 5√2 cm

d = s√3

Luas bidang diagonal yakni: 

Luas = s2√2 

Luas = (5 cm)2√2

Luas = 25√2 cm2 

Kesimpulan:

Karena balok dan kubus memiliki sifat yang hampir sama maka berikut sifat-sifat yang dimiliki oleh kubus juga dimiliki oleh balok. Untuk kubus ABCD.EFGH akan:

1. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. 
2. Memiliki 12 rusuk yang sama panjang, yaitu AB, BC, CD, AD, EF, FG, GH, EH, AE, BF, CG, dan DH. 
3. Memiliki 8 titik sudut, yaitu A, B, C, D, E, F, G, dan H. 
4. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, yakni AC, BD, BG, CF, AF, BE, AH, DE, EG, FH, CH, dan DG. 
5. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu AG, BH, CE, dan DF.
6. Memiliki 6 bidang diagonal berbentuk persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang ACGE, BGHA, AFGD, CDEF, BFHD, dan BEHC.

Demikian postingan Mafia Online tentang diagonal bidang, diagonal ruang dan bidang diagonal kubus serta contoh soal dan pembahasannya. Mohon maaf jika ada kesalahan kata atau perhitungan.

Related Posts :