Como calcular seno e cosseno no círculo trigonométrico

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Um círculo trigonométrico é construído tendo 1 como raio e o centro é representado por 0. Os ângulos são descritos por números reais.

Na trigonometria existe uma forma que é utilizada para calcular razões trigonométricas. Assim, o meio utilizado no cálculo é o círculo trigonométrico, também chamado de circunferência trigonométrica. Parece difícil, né? Mas relaxa que vamos explicar como isso funciona.

Bom, o círculo trigonométrico é construído tendo 1 como raio de circunferência e o centro do círculo é representado por 0. Nesse sentido, cada circunferência exposta no círculo apresenta um número real que, na verdade, são os ângulos. Por meio dos valores dos ângulos é possível calcular seno e cosseno. Logo vamos entender o que cada um representa.

Quadrantes do círculo trigonométrico

Pois bem, o círculo trigonométrico representa uma volta no valor de 2·π, ou seja, esse valor se refere ao comprimento da circunferência. Assim, ao calcular o valor de uma volta completa, no caso 2·π, podemos constatar que o ângulo é de 360º. Nesse sentido, se calcularmos meia volta da circunferência, obrigatoriamente, teremos π (rad) como resultado. Isso porque, C/2 = 2·π/2 = π. 

Aqui, vale lembrar que uma volta completa equivale a 360º (2·π). Sendo assim, com meia volta obtemos π (rad) e isso significa que o valor do ângulo é 180º, ou seja, metade de uma volta completa. O círculo trigonométrico pode representar todos os números reais. Porém, o que mais se usa são os números compreendidos entre 0 a 2·π.

Definidos os valores dos ângulos, é importante saber que em relação aos quadrantes os valores serão postos seguindo o sentindo anti-horário do círculo. Ou seja, dentro dos quadrantes terão números em função de π (rad) e, por consequência, os ângulos pertencentes a cada digito. Assim, observe:

• Quadrante I: estarão os números reais que vão de 0 até π/2 e os ângulos entre 0° e 90°.
• Quadrante II: representa os números reais que vão de π/2 até π e os ângulos entre 90° e 180°.
• Quadrante III: inclui os números reais que vão de π até 3π/2 e os ângulos entre 180° e 270°.
• Quadrante VI: compreende os números reais que vão de 3π/2 até 2π e os ângulos entre 270° e 360°.

Radianos

Dentro dos quadrantes os números podem ser expressados de duas formas: por grau (°) ou radiano (rad). Assim 1º representa os ângulos da circunferência, lembrando que o círculo é dividido em 360 partes. Já 1 radiano representa o ângulo correspondente ao arco da circunferência. Para ilustrar melhor, observe os valores a seguir:

• π rad = 180°
• 2π rad = 360°
• π/2 rad = 90°
• π/3 rad = 60°
• π/4 rad = 45°

Razão seno e razão cosseno

Antes de saber como se estabelece a razão de seno e cosseno, vamos entender o que essas duas palavras significam. Pois bem, seno representa a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, enquanto o cosseno se refere à razão entre o cateto oposto a um ângulo de um triângulo retângulo e a hipotenusa.

Nesse sentido, para que a razão de sono e cosseno possam ser encontradas é importante lembrar que as medidas dentro do círculo trigonométrico são as mesmas em relação ao cateto oposto e adjacente do ângulo em questão.

Além de seno e cosseno também podemos estabelecer os valores da tangente. Assim, para cada representação dentro do círculo existe um valor que deve ser utilizado no momento do cálculo. Além disso, dependendo do quadrante, os valores do ângulos podem mudar. Ou seja, podem ser calculados como positivos ou negativos em relação ao sendo, cosseno e tangente. Observe as referências para os ângulos mais conhecidos:

• Seno – 30º (1/2); 45 (√2/2); 60º (√3/2);
• Cosseno – 30º (√3/2); 45 (√2/2); 60º (1/2);
• Tangente – 30º (√3/3); 45º (1); 60º (√3).

O que achou da matéria? Não é tão difícil assim, né? Se gosta de temas assim, aproveita pra conferir esses outros textos sobre Raiz Quadrada e o qual o valor de Pi.

Fontes: Toda Matéria, Mundo Educação e Brasil Escola

Fonte imagem destaque: Matemática básica

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O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 representado no plano cartesiano. Nele o eixo horizontal é o eixo dos cossenos e o eixo vertical é o eixo dos senos. Pode ser chamado também de ciclo trigonométrico.

Ele é utilizado para realizarmos o estudo das razões trigonométricas. Com ele, é possível compreender melhor as principais razões trigonométricas para ângulos maiores que 180º, sendo elas: o seno, o cosseno e a tangente.

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Passo a passo para construir o círculo trigonométrico

Para fazer a construção do círculo trigonométrico, utilizamos dois eixos, um vertical e um horizontal, como um plano cartesiano. O eixo horizontal é conhecido como eixo dos cossenos, e o eixo vertical é conhecido como eixo dos senos.

Com a construção dos eixos, vamos traçar o gráfico de uma circunferência que possui raio 1.

Razões trigonométricas no círculo

Utilizamos o círculo para encontrar o valor do seno, do cosseno e da tangente, de acordo com o valor do ângulo. Tendo no eixo vertical o valor do seno e no eixo horizontal o valor do cosseno, ao determinar um ângulo no círculo trigonométrico, é possível encontrar o valor do seno e do cosseno analisando as coordenadas do ponto em que o segmento de reta liga o centro do círculo e a circunferência, representado por P na imagem a seguir. Se traçarmos a reta tangente ao círculo no ponto (1,0), poderemos também calcular a tangente desse ângulo de forma analítica conforme a imagem:

Leia também: O que são secante, cossecante e cotangente?

Radianos do círculo trigonométrico

Sabemos que um arco pode ser medido utilizando duas unidades de medidas diferentes: a medida em graus e a medida em radianos. Sabemos que a circunferência possui 360º e que o comprimento do seu arco é 2π:

Quadrantes do círculo trigonométrico

Seja em radianos, seja em graus, é possível definir o quadrante em que determinado arco se encontra de acordo com a sua medida.

Analisando o ciclo, temos que:

• primeiro quadrante: ângulos que estão entre 0 a 90º ou 0 e π/2 radianos;

• segundo quadrante: ângulos que estão entre 90º e 180º ou π/2 e π radianos;

• terceiro quadrante: ângulos que estão entre 180º e 270º ou π e 3 π/2 radianos;

• quarto quadrante: ângulos que estão entre 270º e 360º ou 3π/2 e 2π radianos.

Leia também: Características e propriedades do plano

Ângulos notáveis no círculo trigonométrico

No início do estudo da trigonometria, aprendemos que os ângulos notáveis são os ângulos de 30º, 45º e 60º, que têm o valor do seno, cosseno e tangente conhecidos. Porém, devido à simetria do ciclo trigonométrico, é possível encontrar o valor do seno e do cosseno para esses ângulos e os ângulos simétricos a ele em cada um dos quadrantes.

Sinais do círculo trigonométrico

Para compreender qual é o sinal de cada uma das razões trigonométricas no ciclo, basta analisar os valores do eixo no plano cartesiano.

Vamos começar pelo cosseno. Como ele é o eixo horizontal, o cosseno de ângulos compreendidos à direita do eixo vertical é positivo, e o cosseno de ângulos compreendidos à esquerda do eixo vertical é negativo.

Agora, para entender o sinal do seno de um ângulo, basta lembrar que o eixo vertical é o eixo dos senos, então o seno de um ângulo que está acima do eixo horizontal é positivo; mas caso o ângulo esteja abaixo do eixo horizontal, o seno desse ângulo é negativo, conforme a imagem a seguir:

Sabemos que a tangente é a razão entre o seno e o cosseno, então, para encontrar o sinal da tangente para cada um dos quadrantes, fazemos o jogo de sinal, o que faz com que a tangente seja positiva nos quadrantes ímpares e negativa nos quadrantes pares:

Leia também: O que são semirreta, semiplano e semiespaço?

Simetria no círculo

Analisando o ciclo trigonométrico, é possível construir uma maneira de reduzir o seno, cosseno e tangente ao primeiro quadrante. Essa redução significa encontrar no primeiro quadrante um ângulo que seja simétrico a um ângulo dos demais quadrantes, pois, quando trabalhamos com um ângulo simétrico, o valor das razões trigonométricas é o mesmo, mudando apenas o seu sinal.

Começando com os ângulos que estão no 2º quadrante, temos que:

Como sabemos, no 1º e 2º quadrantes, o seno é positivo. Então, para calcular a redução do seno do 2º quadrante para o 1º quadrante, utilizamos a fórmula:

sen x= sen (180º – x)

O cosseno e a tangente no 2º quadrante são negativos. Para fazer a redução do cosseno do 2º quadrante para o 1º quadrante, utilizamos a fórmula:

cosx = – cos (180º – x)

tg x = – tg (180º – x)

Exemplo:

Qual é o valor do seno e cosseno de um ângulo de 120º?

O ângulo de 120º é um ângulo do segundo quadrante, pois está entre 90º e 180º. Para fazer a redução desse ângulo ao 1º quadrante, calculamos:

sen 120º = sen (180º – 120º)

sen 120º = sen 60º

O ângulo de 60º é um ângulo notável, logo o valor do seu seno é conhecido, então:

Agora calcularemos o seu cosseno:

cos 120º = – cos (180 – 120)

cos 120º = – cos 60º

Como conhecemos o cosseno de 60º, temos que:

Assim como no 2º quadrante, existe uma simetria entre ângulos do 3º quadrante e ângulos do 1º quadrante.

O seno e o cosseno no terceiro quadrante são negativos. Então, para fazer a redução do seno e do cosseno do 3º quadrante para o 1º quadrante, utilizamos a fórmula:

sen x = – sen (x – 180º)

cosx = – cos(x – 180º)

A tangente no 3º quadrante é positiva. Para fazer a redução dela, utilizamos a fórmula:

tg x = tg ( x – 180º)

Exemplo:

Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 225º.

sen 225º = – sen (225º – 180º)

sen 225º = – sen 45º

Como 45º é um ângulo notável, ao consultar a tabela, temos que:

Agora, calculando o cosseno, temos que:

tg 225º = tg ( 225º – 180º)

tg 225º = tg 45º

Sabemos que a tg45º = 1, então:

tg 225º = 1

Com o mesmo raciocínio das reduções anteriores, há uma simetria entre o 4º e 1º quadrante:

Os valores do seno e da tangente no 4º quadrante são negativos. Então, para fazer a redução do 4º para o 1º quadrante, utilizamos a fórmula:

sen x = – sen (360º – x)

tg x = – tg (360º – x)

Já o cosseno no 4º quadrante é positivo. Então, para reduzir ao 1º quadrante, a fórmula é:

cos x = cos (360º – x)

Exemplo:

Calcule o valor do seno e do cosseno de 330º.

Começando pelo seno:

Agora calculando o cosseno:

Leia também: Como calcular distância entre dois pontos no espaço?

Exercícios resolvidos sobre círculo trigonométrico

Questão 1 - Durante o estudo do momento circular, um físico fez a análise de um objeto que estava girando em torno dele mesmo, formando um ângulo de 15.240º. Analisando esse ângulo, o arco formado por ele está no:

A) quadrante I.

B) quadrante II.

C) quadrante III.

D) quadrante IV.

E) em cima de um dos eixos.

Resolução

Alternativa B.

Sabemos que, a cada 360º, esse objeto completou uma volta em torno dele mesmo. Ao realizar a divisão de 15.240 por 360, encontraremos quantas voltas completas esse objeto deu em torno dele mesmo, mas o nosso maior interesse é no resto, que representa o ângulo em que ele parou.

15.240 : 360 = 42,333…

O resultado mostra que ele deu 42 voltas em torno dele mesmo, mas 360 · 42 = 15.120, então restou um ângulo de:

15.240 – 15.120 = 120º

Sabemos que 120º é um ângulo do segundo quadrante.

Questão 2 - Julgue as afirmativas a seguir:

I → Ao calcular tg 140º, o valor será negativo.

II → O ângulo de 200º é um ângulo do 2º quadrante.

III → Sen 130º = sen 50º.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a I é falsa.

B) Somente a II é falsa.

C) Somente a III é falsa.

D) Todas são verdadeiras.

Resolução

Alternativa B.

I → Verdadeira, pois o ângulo 140º pertence ao 2º quadrante, no qual a tangente é sempre negativa.

II → Falsa, pois o ângulo de 200º é um ângulo do 3º quadrante.

III → Verdadeira, pois, para fazer a redução de um ângulo do 2º para o 1º quadrante, basta calcular a diferença de 180º – x, logo:

sen 130º = sen (180º – 130º)

sen 130º = sen 50º

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática