A parábola é o gráfico da função do segundo grau (f(x) = ax2 + bx + c), também chamada de função quadrática. Ela é traçada no plano cartesiano, que possui como coordenadas x (abscissas = eixo x) e y (ordenadas = eixo y).  Para traçarmos o gráfico de uma função quadrática, é preciso descobrir quantas raízes ou zeros reais a função possui em relação ao eixo x. Entenda raízes como a solução da equação do segundo grau que pertence ao conjunto dos números reais. Para sabermos a quantidade de raízes, é preciso calcular o discriminante, que é chamado de delta e é dado pela seguinte fórmula: A fórmula do discriminante/delta é feita em relação aos coeficientes da função do segundo grau. Sendo assim, a, b e c são os coeficientes da função f(x) = ax2 + bx + c . Existem três relações da parábola com o delta da função do segundo grau. Essas relações estabelecem as seguintes condições:
Concavidade da Parábola O que determina a concavidade da parábola é o coeficiente a da função de segundo grau – f(x) = ax2 + bx + c. A parábola tem a concavidade voltada para cima quando o coeficiente é positivo, ou seja, a > 0. Caso seja negativo (a < 0), a concavidade fica voltada para baixo. Para compreender melhor as condições estabelecidas anteriormente, observe os esboços das parábolas a seguir: Vamos praticar os conceitos aprendidos, observe os exemplos abaixo: Exemplo: Encontre o discriminante de cada função do segundo grau e determine a quantidade de raízes, a concavidade da parábola e esboce o gráfico da função em relação ao eixo x. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) a) f(x) = 2x2 – 18 Resolução a) f(x) = x2 – 16 Inicialmente, devemos verificar os coeficientes da função do segundo grau: a = 2, b = 0, c = - 18 Substitua os valores dos coeficientes na fórmula do discriminante/delta: Como o delta é igual a 144, ele é maior que zero. Sendo assim, aplica-se a primeira condição, isto é, a parábola interceptará o eixo x em dois pontos distintos, ou seja, a função possui duas raízes reais diferentes. Como o coeficiente é maior do que zero, a concavidade fica para cima. O esboço do gráfico está logo abaixo: b) f(x) = x2 – 4x + 10 Inicialmente, devemos verificar os coeficientes da função do segundo grau: a = 1, b = - 4, c = 10 Substitua os valores dos coeficientes na fórmula do discriminante/delta: O valor do discriminante é - 24 (menor que zero). Com isso, aplicamos a terceira condição, isto é, a parábola não intercepta o eixo x, logo, a função não possui nenhuma raiz real. Como a > 0, a concavidade da parábola fica para cima. Observe o esboço do gráfico: c) f(x) = - 2x2 + 20x – 50 Inicialmente, devemos verificar os coeficientes da função do segundo grau. a = - 2, b = 20, c = - 50 Substitua os valores dos coeficientes na fórmula do discriminante/delta: O valor de delta é 0, logo, aplica-se a segunda condição, isto é, a função possui uma única raiz real, e a parábola tangencia o eixo x. Como a < 0, a concavidade da parábola fica para baixo. Veja o esboço do gráfico: Por Naysa Oliveira Graduada em Matemática
Quando dizemos “raiz de uma equação”, nos referimos ao resultado final de uma equação qualquer. As equações de 1º grau (do tipo ax + b = 0, onde a e b são números reais e a≠0) possuem apenas uma raiz, um único valor para sua incógnita. As equações de 2º grau (do tipo ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são números reais e a≠0) podem ter até duas raízes reais. O número de raízes de uma equação do 2º grau irá depender do valor do discriminante ou delta: ∆. Equações completas do 2º grau são resolvidas aplicando a fórmula de Bháskara: Condições de existência da raiz de uma equação do 2º grau: Nenhuma raiz real: quando delta for menor que zero. (negativo) ∆ < 0 x² - 4x + 5 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*1*5 ∆ = 16 – 20 ∆ = - 4
Uma única raiz real: quando delta for igual a zero. (nulo) ∆ = 0 4x² - 4x + 1 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-4)² - 4*4*1 ∆ = 16 – 16 ∆ = 0
Duas raízes reais: quando delta for maior que zero. (positivo) ∆ > 0 x² - 5x + 6 = 0 ∆ = b² - 4ac ∆ = (-5)² - 4*1*6 ∆ = 25 - 24 ∆ = 1
Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola
Existem diversos modos de se resolver uma equação do segundo grau, contudo, nem sempre essas formas apresentam o melhor método de resolução. Dessa maneira, para agilizar a solução de exercícios de um modo geral, apresentaremos três passos que facilitarão bastante o processo! Os três passos seguintes baseiam-se na fórmula de Bhaskara, que é o método resolutivo para equações do segundo grau mais popular entre os estudantes. Primeiro passo: Escreva os valores numéricos dos coeficientes a, b e c. Toda equação do segundo grau pode ser escrita na forma ax2 + bx + c = 0. Desse modo, o coeficiente a é o número que multiplica x2. O coeficiente b é o número que multiplica x e o coeficiente c é um número real. Portanto, dada uma equação do segundo grau, escreva os valores de a, b e c de forma clara, objetiva e evidente para que eventuais consultas a esses valores sejam feitas rapidamente. Como exemplo, vamos escrever os coeficientes da equação 2x2 + 8x – 24 = 0. a = 2, b = 8 e c = – 24 Segundo passo: Calcule o valor de delta. O valor de delta é dado pela seguinte expressão: Δ = b2 – 4ac, em que a, b e c são coeficientes da equação e Δ é delta. Tomando o exemplo anterior, na equação 2x2 + 8x – 24 = 0, delta vale: Δ = b2 – 4ac Δ = 82 – 4·2·(– 24) Δ = 64 + 192 Δ = 256 Terceiro passo: calcule os valores de x da equação. Após calcular o valor de delta, os valores de x podem ser obtidos por meio da seguinte expressão: x = – b ± √Δ Observe que nessa expressão aparece o sinal ±. Isso indica que x possui dois valores: o primeiro para a √Δ (raiz de delta) negativa e o segundo para √Δ positiva. Tomando o exemplo já citado, observe a conclusão do terceiro passo: x = – b ± √Δ x = – 8 ± √256 x = – 8 ± 16 Para √Δ negativa, teremos: x' = – 8 – 16 = –24 = –6 Para √Δ positiva, teremos: x'' = – 8 + 16 = 8 = 2 Observações importantes: Ao calcular o valor de Δ, o aluno depara-se com o jogo de sinais. É preciso ter extrema atenção ao termo “– 4ac”, pois, muitas vezes, c possui um valor negativo, o que torna esse termo positivo em virtude do jogo de sinais. O mesmo ocorre ao encontrar os valores de x. Repare que existe um “– b” na fórmula. Se b for negativo, por causa do jogo de sinais, – b será positivo (+ b). O valor de Δ pode ser utilizado como parâmetro para decidir como serão as raízes da equação. Uma equação em que Δ > 0 possui duas raízes reais distintas, uma equação em que Δ = 0 possui duas raízes reais iguais ou uma raiz real dupla, isto é, x' = x'', e uma equação em que Δ < 0 não possui raízes reais. Para ajudar a decorar as fórmulas utilizadas, sempre as escreva em seu caderno para cada exercício que for resolvido, recitando-as em voz alta. Exemplo: Quais são as raízes da equação x2 – x – 30 = 0? Passo 1: a = 1, b = – 1 e c = – 30. Passo 2: cálculo do valor de delta Δ = b2 – 4ac Δ = (–1)2 – 4·1·(–30) Δ = 1 + 120 Δ = 121 Passo 3: Calcule os valores de x: x = – b ± √Δ x = – (–1) ± √121 x = 1 ± 11 x' = 1 + 11 = 12 = 6 x'' = 1 – 11 = – 10 = – 5 Logo, as raízes ou valores de x para essa equação são 6 e – 5. |
O que fazer quando o delta da 1
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