Conhecemos como baricentro do triângulo o centro de gravidade do triângulo. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo, o ponto de encontro quando traçamos as suas três medianas. Ao traçar a mediana de cada um dos vértices do triângulo, o baricentro é o ponto de encontro das três medianas. Show Quando conhecemos as coordenadas de cada um dos vértices de um triângulo representado no plano cartesiano, para calcular o seu baricentro, basta calcular a média aritmética dos valores de x e dos valores de y. Leia também: Quais são as propriedades do triângulo equilátero? Resumo sobre baricentro de um triângulo
No estudo dos triângulos, existem os pontos conhecidos como notáveis, os pontos específicos de um triângulo, são eles:
Cada um possui propriedades específicas e é encontrado de maneira diferente. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das medianas do triângulo. Todo triângulo possui três medianas, e mediana é o segmento que liga o vértice ao ponto médio do lado oposto, como na imagem a seguir:  Quando traçamos as três medianas do triângulo simultaneamente, é possível encontrar o ponto de encontro delas, denotado por G, o baricentro do triângulo: Propriedades do baricentroDada qualquer uma das medianas do triângulo, o baricentro divide-a em dois novos segmentos cujos comprimentos estão em razão 1 para 2. Em todo triângulo, o baricentro é um ponto interno. Como as medianas são segmentos que ligam de forma interna o vértice ao ponto médio do lado oposto, ou seja, são sempre segmentos internos do triângulo, consequentemente, o baricentro é um ponto interno do triângulo. Passo a passo de como se calcula o baricentroNo estudo da geometria analítica, quando representamos o triângulo ABC, no plano cartesiano, em que os vértices possuem coordenadas A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) e o seu baricentro, G(xG, yG), para calcular as coordenadas do baricentro, basta fazer a média aritmética entre os valores de x para os vértices A, B e C e os valores de y para os mesmos vértices. Exemplo: Um triângulo foi representado no plano cartesiano, sendo que os seus vértices são os pontos A (-1, -2), B (3, 5) e C (4, -3), calcule a coordenada do baricentro desse triângulo. Para encontrar o baricentro desse triângulo, vamos calcular a soma das abscissas dos pontos A, B e C e dividir por três: Faremos o mesmo processo com os valores da ordenada: Então, o par ordenado que representa a localização do baricentro desse triângulo é o ponto G(2, 0). Veja também: Como podemos classificar um triângulo? Exercícios resolvidos sobre o baricentro de um triânguloQuestão 1 - (Seduc – CE) O baricentro de uma área plana é o ponto no qual está localizado o centro de gravidade da área considerada. Na matemática, define-se o baricentro de uma área limitada por um triângulo como sendo o ponto de interseção das medianas do triângulo. Se no plano cartesiano os pontos (1, 6) e (3, 2) são vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto (5/3, 3), então, o terceiro vértice desse triângulo é o ponto: A) (2/3, 1) B) (1, 1) C) (1, 4/3) D) (2/3, 4/3) E (1, 2/3) Resolução Alternativa B Nomeando os vértices do triângulo de A, B e C, seja A(1,6) e B (3,2), como não conhecemos as coordenadas do terceiro vértice, faremos sua representação por C(x,y). Sabemos que o baricentro é o ponto (5/3, 3). Substituindo na fórmula os valores dos pontos A, B e do baricentro, temos que: Agora, encontraremos o valor de y: Então, as coordenadas do ponto C são (1, 1). Questão 2 - As coordenadas do baricentro do triângulo a seguir são: A) (3, 2) B) (2, 3) C) (-2, 3) D) (6, 4) E) (-4, -6) Resolução Alternativa B Identificando as coordenadas de cada um dos pontos, temos que A(-1, 3), B(1, 2) e C(6, 4). Agora, calcularemos o baricentro: As coordenadas do ponto G são (2, 3). Baricentro de um triângulo é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Geralmente, é representado pela letra G. Para encontrar o baricentro, é necessário traçar as três medianas do triângulo e, assim, localizar o ponto de encontro entre elas. O baricentro é um dos pontos notáveis do triângulo e possui propriedades importantes. Para encontrar o baricentro quando estudamos o triângulo representado em um plano cartesiano, calculamos a média aritmética entre as coordenadas dos vértices do triângulo. Leia também: Propriedades do triângulo isósceles e do equilátero Resumo sobre baricentro do triângulo
O que é o baricentro?O triângulo é o sólido geométrico mais simples de todos, mas que é estudado a fundo na geometria. A partir do estudo do triângulo, foram encontrados quatro pontos notáveis, sendo um deles o baricentro. Os demais são denominados incentro, circuncentro e ortocentro. O baricentro, em específico, é o ponto de encontro das três medianas do triângulo. Portanto, para encontrar o lugar geométrico que o baricentro ocupa, traçamos as três medianas do triângulo e marcamos o ponto de encontro entre elas, que é comumente representado pelo ponto G. Vejamos a seguir a representação do baricentro de um triângulo. A mediana é o segmento de reta que vai do ponto médio de um lado do triângulo até o vértice oposto a esse lado. Traçaremos as medianas do triângulo ABC, começando pela mediana em relação ao vértice A: Agora, traçaremos mais uma mediana, a relativa ao vértice B: Por último, vamos traçar a mediana relativa ao vértice C e encontrar o baricentro. Dessa forma, demarca-se o baricentro desse triângulo, representado por G. Leia também: Condição de existência de um triângulo Propriedades do baricentroO baricentro possui duas propriedades importantes. Vejamos cada uma delas a seguir.
Ao traçar as medianas, o segmento de reta sempre estará na parte interna do triângulo, como consequência de sua definição, pois a mediana liga o vértice ao ponto médio. Sendo assim, o baricentro sempre será um ponto interno, independentemente do formato do triângulo.
Como calcular o baricentroA partir dos estudos da geometria analítica, foi possível realizar a representação de um triângulo no plano cartesiano. Com a representação do triângulo, conhecendo as coordenadas de seus vértices, é possível calcular as coordenadas do baricentro do triângulo. Dado um triângulo cujos vértices são os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), com baricentro possuindo coordenadas G(xG, yG), basta calcularmos a média aritmética dos valores de x e y para encontrar as coordenadas do baricentro desse polígono. Exemplo: Um triângulo possui vértices localizados nos pontos A(2, 3), B(5, – 4) e C(– 1, – 2). Qual são as coordenadas de seu baricentro? Resolução: Para encontrar suas coordenadas, começaremos por xG. Agora, encontraremos yG: Portanto, o baricentro desse triângulo é o ponto G(2, – 1). Leia também: Bissetriz e incentro de um triângulo Exercícios resolvidos sobre baricentro de um triânguloQuestão 1 Um triângulo possui baricentro com as coordenadas G(– 1, 2). Sabendo que as coordenadas dos vértices A, B e C são, respectivamente, (4, 2), (– 2, 3) e (x, y), a diferença de y – x é igual a A) 3. B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. Resolução: Alternativa D Sabemos que: xA = 4 xB = – 2 xG = – 1 Então, calcula-se o seguinte: Além disso, sabemos que: yA = 3 yB = – 4 yG = 2 Agora, basta calcular a diferença entre y e x: y – x = 1 – (– 5) = 1 + 5 = 6 Questão 2 Marque a alternativa que descreve de forma correta o que é o baricentro. A) O baricentro é um segmento de reta notável do triângulo, formado pelo encontro das medianas. B) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das alturas. C) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das bissetrizes. D) O baricentro é um ponto notável do triângulo, formado pelo encontro das medianas. E) O baricentro é um segmento de reta notável do triângulo, formado pelo encontro das mediatrizes. Resolução: Alternativa D O baricentro é o encontro das medianas de um triângulo. |
Determine as coordenadas dos vértices do triângulo abc cujos pontos médios
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