FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong. Fungsi/pemetaan dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B. Penyajian: 1. Diagram panah 2. Diagram cartesius 3. Himpunan pasangan berurutan 4. Menggunakan rumus Notasi Fungsi Himpunan A disebut domain/daerah asal (D f ). Himpunan B disebut kodomain/daerah kawan. Himpunan semua peta dari himpunan A disebut range/daerah hasil (R f ). Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B yang memetakan setiap x A ke f(x) B dapat dinotasikan sebagai berikut: f(x) : A B catatan: x A disebut prapeta, f(x) B yang memiliki hubungan dengan x A disebut peta/bayangan dari A, ditulis y = f(x). Perbedaan relasi dan fungsi: Relasi Fungsi Anggota A tidak harus memiliki pasangan di B. Setiap anggota A harus memiliki pasangan di B. Anggota A boleh dipasangkan lebih dari satu kali. Anggota A hanya dapat dipasangkan tepat satu kali. Latihan Fungsi: 1. Manakah dari himpunan pasangan berurutan berikut yang merupakan pemetaan atau fungsi dari E = {a, b, c} ke F = {1, 2, 3, 4}? a. { (a,1), (a,2), (b,3), (c, 4)} b. { (a,1), (b,2), (c,2)} c. { (a,1), (b,2), (b,3)} d. { (a,2), (c,2), (c,4)} e. { (a, 4), (b,1), (c,3) f. { (a,3), (b,2), (c,1)} 1 2. Di antara relasi yang disajikan ini manakah yang merupakan fungsi? a. b. c. d. e. 3. Relasi pada R dinyatakan dengan grafik berikut, manakah yang merupakan grafik fungsi R : x y? a. b. c. d. e. f. B. Fungsi Linear Bentuk umum fungsi linear adalah f(x) = ax + b, bila fungsi linear dinyatakan dalam persamaan garis lurus menjadi y = ax + b. Jadi, y = f(x) = ax + b. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi linear y = f (x) = ax + b 1. Buat daftar nilai f dalam tabel. x y Ingat: Syarat menggambar sebuah garis lurus, minimal dibutuhkan dua titik (untuk dihubungkan menjadi sebuah garis lurus). 2. Tentukan titik potong dengan sumbu X, yaitu saat y = 0. 3. Tentukan titik potong dengan sumbu Y, yaitu saat x = 0. 4. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f (jika diperlukan). 5. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 6. Hubungkan titik-titik ini dengan garis. 2 Latihan 2: 1. Gambarlah grafik fungsi ini pada bidang cartesius dalam daerah asal D f = { x x R}: a. f(x) = 2 b. f(x) = 4x c. f(x) = 3-2x d. f(x) =3x + 1 e. y = 3x + 5 f. y = - 2x + 6 2. Diketahui f(x) = 3x -10. Tentukan nilai a jika f(a) = 14! 3. Diketahui f(x) = 12 5x, tentukan nilai f(3)! 4. Diketahui fungsi f (x) = 3x + 4. Tentukan nilai f(a - 3)! 5. Diketahui fungsi f (x) = - 2x + 10. Tentukan nilai f(x +4)! 1. Gradien Garis Lurus Fungsi Linear f(x) = mx + b, koefisien x, yaitu m menunjukkan gradien atau kemiringan garis. Jika sebuah garis melalui dua titik A (x 1, y 1 ) dan B (x 2, y 2 ) maka nilai gradiennya, yaitu m adalah sebagai berikut: m = y y 1 x 2 x 1 Pada titik (x, y), x adalah absis dan y adalah ordinat. 2. Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x 1, y 1 ) adalah: y y 1 = m (x x 1 ) Persamaan garis lurus jika diketahui melalui dua titik, yaitu (x 1, y 1 ) dan (x 2, y 2 ) adalah: y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 Khusus untuk persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (b,0) dan sumbu Y di titik (0,a) dapat juga menggunakan rumus: ax + by = ab. Persamaan garis lurus jika diketahui gradiennya (m) dan melalui (x 1, y 1 ) adalah: y y 1 = m (x x 1 ) 3. Kedudukan Garis dalam Satu Bidang Diketahui persamaan garis k: y = m 1 x + p dan persamaan garis l: y = m 2 x + p a. Jika garis k l (saling sejajar) maka m 1 = m 2 b. Jika garis k l (saling tegak lurus) maka m 1. m 2 = -1 3 c. Jika garis k dan l saling berpotongan maka m 1 m 2 Koordinat titik potong kedua garis dapat ditentukan dengan caea eliminasi, substitusi, atau dilihat dari grafiknya. Gambar 1: Gambar 2: 1. Tentukan persamaan garis lurus jika melalui titik (2, 1) dan (4, 2) 2. Tentukan persamaan garis lurus pada grafik berikut ini: 3. Tentukan titik potong dari dua garis berikut: 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (5, 2) dan gradiennya 5! 5. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (1, 2) dan tegak lurus dengan garis 2x y = 4! 6. Tentukan persamaan garis lurus yang sejajar dengan garis y 4x = 12 dan melalui titik ( -2, 0)! Latihan hal 48-49 no. 1, 4, 5, 6. a, c, 7.c, 8-10. C. Fungsi Kuadrat Bentuk umum: f(x) = ax 2 +bx+c, dengan a,b, dan c bilangan real dan a 0, dinamakan fungsi kuadrat dalam x. f(x)= x 2-1 f(x)= 2x 2-3x f(p)= p 2-4p +4 f(m)= m 2 +5m +6m Grafik fungsi kuadrat dapat dituliskan f(x)= y=ax 2 +bx+c dan grafik fungsi kuadrat disebut sebagai parabola. 4 Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat: 1. Tentukan titik potong dengan sumbu x dan y (jika ada) Titik potong dengan sumbu x (syarat y = 0). Titik potong dengan sumbu y (syarat x = 0) 2. Tentukan titik puncak atau titik baliknya : (x, y) =, ( ) atau (x, y) = D adalah nilai diskriminan, D = b 4ac, 3. Pilihlah beberapa nilai x kemudian carilah nilai y-nya dengan mensubstitusikan nilai x pada fungsi f. 4. Buat daftar nilai f dalam tabel. x y (x, y) 5. Gambarkan titik-titik pada bidang koordinat. 6. Hubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus. 7. Tentukan persamaan sumbu simetrinya : x = 8. Tentukan nilai maksimum/ minimum (dapat dicari dari y = Gambarlah grafik fungsi berikut: a. y = x 2 b. f(x) = x 2 4 c. y = 2x 2-4x + 5 d. f(x) = x 2 + x -2 = ( ) Hubungan nilai diskriminan dengan Fungsi Kuadrat Jika D>0 maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berlainan. Jika D=0 maka parabola memotong sumbu x di satu titik. Jika D<0 maka parabola tidak memotong sumbu x. ) Hubungan nilai a pada fungsi kuadrat y=f(x)= ax 2 +bx+c dengan sketsa grafiknya: Jika nilai a> 0 maka grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas. Karena grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas maka grafik fungsi kuadrat ini memiliki titik balik minimum. Jika nilai a< 0 maka grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah. Karena grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas maka grafik fungsi kuadrat ini memiliki titik balik maksimum. 5 Dengan memperhatikan nilai a dan D dari suatu fungsi kuadrat y=f(x)= ax 2 +bx+c, ada 6 kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu X. Keterangan: 1. Pada (a) dan (e) untuk D > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik, jika a > 0 grafik membuka ke atas, sebaliknya untuk a < 0 grafik membuka ke bawah. 2. Pada (b) dan (f) untuk D = 0 grafik memotong di satu titik atau menyinggung sumbu x. 3. Pada (c) dan (g) grafik tidak memotong sumbu x. Untuk a > 0 dan D < 0 seluruh grafik berada di atas sumbu x artinya seluruh nilai fungsi bernilai positif untuk setiap nilai x yang diberikan, keadaan ini disebut definit negatif. Untuk a < 0 dan D < 0 seluruh grafik berada di bawah sumbu x artinya seluruh nilai fungsi bernilai negatif untuk setiap nilai x, keadaan ini disebut definit positif. 6 Domain : Kodomain : Fungsi dikatakan : 1) Fungsi injektif, jika dan hanya jika anggota kodomain hanya dipasangkan satu kali dengan anggota domain. Pada fungsi injektif, anggota himpunan daerah kodomain boleh tidak memiliki pasangan, namun semua anggota kodomain yang terpasangkan hanya ada satu, tidak boleh ada yang lebih dari satu. 2) Fungsi Surjektif atau onto memiliki ciri-ciri yaitu anggota kodomainnya boleh memiliki pasangan lebih dari satu, namun tidak boleh ada anggota kodomain yang tidak dipasangkan. Fungsi surjektif biasanya dipenuhi apabila jumlah anggota kodomain sama atau lebih sedikit dari anggota domain. 3) Fungsi Bijektif adalah gabungan dari fungsi injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. Kebalikan fungsi dari fungsi injektif dan surjektif belum pasti fungsi/pemetaan, namun kebalikan fungsi dari fungsi bijektif juga merupakan fungsi/pemetaan. Sehingga disimpulkan merupakan fungsi bijektif, karena semua anggota domain dan kodomain terpasangkan tepat satu. |